UNIDAD 2

Resolución numérica de ecuaciones no lineales

En análisis numérico un algoritmo de búsqueda de raíces es un método numérico o algorítmico para encontrar las soluciones aproximadas de una ecuación dada por la expresión f(x) = 0 para una función matemática f dada. A la solución x de la ecuación se le llama raíz o cero de la función.

Método de Bisección

Algoritmo del método de Bisección

El método de Bisección para la resolución de la ecuación f(x) = 0 se basa en el Teorema de Bolzano que nos asegura la existencia de, al menos, una raíz de una función f(x) en un cierto intervalo [a, b], bajo ciertas condiciones.

Teorema de Bolzano: Sea f: [a, b] → R una función continua en [a, b] tal que f(a)f(b) < 0. Entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Supongamos que f(x) es continua y cambia de signo en los extremos de [a, b]. Basándonos en el anterior teorema, podemos aproximar una solución de la ecuación f(x) = 0 dividiendo el intervalo inicial en dos subintervalos iguales y eligiendo aquel en el que f(x) cambia de signo. Después se repite el proceso hasta que se verifique algún criterio de parada.

Algoritmo del Método de Bisección

1. a0 = a, b0 = b

2. Para n = 0, 1,. . ., hacer:

◦ mn = 1/2(an + bn)

◦ Si f(an)f(mn) < 0, tomar an+1 = an, bn+1 = mn; en caso contrario, tomar an+1 = mn, bn+1 = bn.

Ejemplo

Resolver mediante al algoritmo de bisección la ecuación ex − x = 0 en [0, 1].

Método de Regula-Falsi

Algoritmo del Método de Regula-Falsi

Se trata de realizar un refinamiento del Método de de Bisección, eligiendo la aproximación m a distancias de a y b proporcionales a f(a) y f(b). La ecuación de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) es

(y − f(a))/(f(b) − f(a)) = (x – 1) / (b – a)

De donde se tiene que el corte con el eje OX es, haciendo x = 0 y despejando y, el valor

m = (af(b) − bf(a)) / (f(b) − f(a))

Método de la secante

Se trata de un método iterativo en el que, en cada paso, se calcula una aproximación de la solución en lugar de un intervalo que la contiene.

Se parte de x0 = a y x1 = b y se calcula, iterativamente para cada n ≥ 1, la intersección de la secante que une los puntos (xn−1, f(xn−1) y (xn, f(xn)) con el eje de abscisa, obteniéndose la abscisa.

xn+1 = (xn−1 f(xn) – xn f(xn−1)) / (f(xn) − f(xn−1))

Método de Newton-Raphson

Se trata de llevar el límite el método de la secante y, por tanto, en cada iteración n, considerar la recta tangente a f(x) en (xn, f(xn)) y tomar como siguiente aproximación xn+1 la intersección de dicha tangente con el eje de abscisas. Por tanto, teniendo en cuenta que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto (xn, f(xn)) es

y − f(xn) = f´ (xn)(x − xn)

Métodos Iterativos

Se trata de transformar la ecuación f(x) = 0 (cálculo de una raíz de la función f(x)) en una ecuación del tipo x = g(x) (cálculo de un punto fijo de la función g(x)) de forma que sean equivalentes, es decir, tengan la misma solución

Algoritmo de un Método Iterativo

1. Dado x0 ∈ [a, b]

2. Para n = 1, 2 . . ., hacer xn+1 = g(xn)

Ejemplos de métodos gráficos:

Ejercicios de métodos gráficos:

Ejercicios de Método de la bisección

Ejercicio de punto fijo:

f(x) = x^3 + 2(x^2) + 10x - 20

x^3 + 2(x^2) + 10x - 20 = 0

x[x^2 + 2x + 10] - 20 = 0

x = 20 / ( x^2 + 2x + 10)

g´(x) = -20(2x + 2) / ( x^2 + 2x + 10)^2

|g´(x)| < 1

sust. x = 1

|g´(x)| = | -80/169 | = 0.4734

x^3 + 2(x^2) + 10x - 20 = 0

x = (-x^3 - 2(x^2) + 20) / 10

g´(x) = ((-3x^2)-4x) / 10

|g´(x)| < 1

sust. x = 1

|g´(x)| = | -7 / 10 | = 0.7

Método Newton - Rapshon

Ejercicio 1

f(x) = x^3 + 2(x^2) + 10x - 20

g(x) = xi - (f(x)/f´(x))

f´(x) = 3(x^2) + 4x + 10

sust. x = 1

g(x) = 1 - (((1^3)+(2(1)^2)+(10(1))-20) / ((3(1)^2)+(4(1))+10))

g(x) = 1 - ((-7)/17) = 1.411765

Et = | (1.411765-1)/1.411765 | = 0.291667

sust. x = 1.411765

g(x) = 1.411765 - (((1.411765^3)+(2(1.411765)^2)+(10(1.411765))-20) / ((3(1.411765)^2)+(4(1.411765))+10))

g(x) = 1.369336

Et = | (1.369336-1.411765)/1.369336 | = 0.030985

sust. x = 1.369336

g(x) = 1.369336 - (((1.369336^3)+(2(1.369336)^2)+(10(1.369336))-20) / ((3(1.369336)^2)+(4(1.369336))+10))

g(x) = 1.368808

Et = | (1.368808-1.369336)/1.368808 | = 0.000386

Ejercicio 2

f(x) = x^3 + 2(x^2) + 10x - 20

Para cuando xi = 1 y xu = 2

f(xi) =(1^3)+(2(1)^2)+(10(1))-20 = - 7

f(xu) =(2^3)+(2(2)^2)+(10(2))-20 = 16

xr = xu - ((f(xu)((xi - xi))) / (f(xi) - f(xu))

xr = 2 - ((16(1-2))/((-7)(-16))) = 30/23

f(xr) =((30/23)^3)+(2(30/23)^2)+(10(30/23))-20 = -1.334757952

f(xi) * f(xr) = (-7)(-1.334757952) = 9.343305663

Para cuando xi = 30/23 y xu = 2

f(xi) =((30/23)^3)+(2(30/23^2)+(10(30/23))-20 = -1.334757952

f(xu) =(2^3)+(2(2)^2)+(10(2))-20 = 16

xr = 2 - ((16((30/23)-2))/((-1.334757952)(-16))) = 1.357912305

f(xr) =((1.357912305)^3)+(2(1.357912305)^2)+(10(1.357912305))-20

f(xr) = -0.2291357295

f(xi) * f(xr) = (-1.334757952)(-0.2291357295) = 0.305840737

Er= | (1.357912305-(30/23))/1.357912305| (100%)= 3.94%

Para cuando xi = 1.357912305 y xu = 2

f(xi) =((1.357912305)^3)+(2(1.357912305)^2)+(10(1.357912305))-20

f(xi) = -0.2291357295

f(xu) =(2^3)+(2(2)^2)+(10(2))-20 = 16

xr = 2 - ((16((1.357912305)-2))/((-0.2291357295)(-16))) = 1.366977805

f(xr) =((1.366977805)^3)+(2(1.366977805)^2)+(10(1.366977805))-20

f(xr) = -0.03859187672

f(xi) * f(xr) = (-0.2291357295)(-0.03859187672)

f(xi) * f(xr) = 8.842777826 x10^(-3)

Er= | (1.366977805-(1.357912305))/1.366977805| (100%) = 0.66%

Fórmula de la secante

xi-1 = xi - (((xi - xi-0)(f(xi))/((f(xi))-(f(xi-1))) = g(x)

sust. x = 1

g(x) = 1 - (((1-0)(-7))/((-7)-(-20))) = 1 - ((-7)/13) =1.528462

Er= | (1.528462-(1))/1.528462 | = 0.35

sust. x = 1.528462

g(x) = 1.528462 - (((1.528462-1)(3.759672))/((3.759672)-(-7))) = 1.350311

Er= | (1.350311-(1.528462))/1.350311 | = 0.1393

sust. x = 1.350311

g(x) = 1.350311 - (((1.350311-1.528462)(-0.388136))/((-0.388136)-(3.759672))) = 1.367917

Er= | (1.367917-(1.350311))/1.367917 | = 0.0129

Actividad 7. Con el método de Newton

1.- f(x) = x^4 + 7(x^3) + 12(x^2) - 4x - 16, en el punto -5 a 5

g(x)= xi - (f(x)/f´(x)) f´(x) = 4(x^3) + 21(x^2) + 24x - 4

sust. x = -5

g(x) = -5 - (( (-5)^4 + 7((-5)^3) + 12((-5)^2) - 4(-5) - 16) / (4((-5)^3) + 21((-5)^2) + 24(-5) - 4)

g(x) = -4.4545455

Et = | (-4.4545455)-(-5))/(-4.4545455) | (100%) = 12%

sust. x = -4

g(x) = -4 - (( (-4)^4 + 7((-4)^3) + 12((-4)^2) - 4(-4) - 16) / (4((-4)^3) + 21((-4)^2) + 24(-4) - 4)

g(x) = -4

Et = | (-4)-(-4))/(-4) | (100%) = 0%

2.-  f(x) = x^3 - 6(x^2) + 11x - 6.1, con valor inicial de 3.

f´(x) = 3(x^2) - 12x + 11

sust. x = 3

g(x) = 3 - ((3^3 - 6(3^2) + 11(3) - 6.1)/(3(3^2) - 12(3) + 11))

g(x) = 3.05

Et = | (3.05)-(3))/(3.05) | (100%) = 2%

sust. x = 3.05

g(x) = 3.05 - ((3.05^3 - 6(3.05^2) + 11(3.05) - 6.1)/(3(3.05^2) - 12(3.05) + 11))

g(x) = 3.04669556

Et = | (3.04669556)-(3.05))/(3.04669556) | (100%) = 0%

3.- Encontrar la solución de f(x)= x^3 + 4(x^2) - 10 = 0, en el intervalo [1,2]

f´(x) = 3(x^2) + 8x

sust. x = 1

g(x) = 1 - ((1^3 + 4(1^2) - 10)/(3(1^2) + 8(1))

g(x) = 1.45454545

Et = | (1.45454545)-(1))/(1.45454545) | (100%) = 31%

sust. x = 1.1

g(x) = 1.1 - ((1.1^3 + 4(1.1^2) - 10)/(3(1.1^2) + 8(1.1))

g(x) = 1.40804505

Et = | (1.40804505)-(1.45454545))/(1.40804505) | (100%) = 21%

4. Determine las raíces de f(x) = - 1 + 5.5.x - 4x^2 + 0.5x^3

a) En forma gráfica para determinar el intervalo

b) Con el método de Newton - Raphson

f(x) = 0.5x^3 - 4x^2 + 5.5x - 1

f´(x) = 1.5x^2 - 8x + 5.5

Sust. x=0.2

g(x) = 0.2 - ((0.5(0.2)^3 - 4(0.2)^2 + 5.5(0.2) - 1)/(1.5(0.2)^2 - 8(0.2) + 5.5)

g(x) = 0.2141414

Et = | (0.2141414)-(0.2))/(0.2141414) | (100%) = 06%

Sust. x=0.2141414

g(x) = 0.2141414 - ((0.5(0.2141414)^3 - 4(0.2141414)^2 + 5.5(0.2141414) - 1)/(1.5(0.2141414)^2 - 8(0.2141414) + 5.5)

g(x) = 0.214333

Et = | (0.214333)-(0.2141414))/(0.214333) | (100%) = 0%

Bibliografía
http://www.ugr.es/~mpasadas/ftp/Tema2_apuntes.pdf:
Apuntes de la 2° unidad de Métodos Numéricos